さて、この「たまご」ですが、まず「玉子」という漢字が当てられたのかを解説していきます。

玉子の「玉」は丸い形の宝石を意味しています。
（正確には少し違うのですが、簡単にしています。）

玉子の「子」はシンプルに子共です。

これは、余談ですが「子供」「子ども」「こども」と色々な表記がありますが、2013年に文部科学省より「子供」で表記統一するというお達しがありました。
ただ、子供の「共」がお供え物を連想するとされて、「子ども」と表記する場合もあります。
最近では「こども」と表記する場合もあり、どれが正解なのか曖昧な部分があります。
ただし、Google検索のキーワードの量で言うと「子供」が圧倒的に多く「子ども」「こども」はどちらかというとマイナーな表記です。

話は逸れましたが、玉子は「丸いものから生まれる子ども」という意味になり、この丸いものとはニワトリのタマゴを指しています。

次に「卵」です。
この成り立ちは、小さい丸い卵が複数まとまっている様を表したとされており、蛙や魚のような卵を模した漢字とされています。

漢字の成り立ちから見ると
「卵」は一般的な孵化する場合に使われる
「玉子」はニワトリに限った表現
と言えます。

ただ、卵かけご飯やゆで卵のような鶏卵を使っていても「玉子」ではなく「卵」を使います。

元々この「玉子」という漢字が登場したのは室町時代で、この頃から鶏卵を使った料理を「玉子」と表記するようになりました。

なので、「鶏の卵」を調理すると「玉子」となります。
しかし、「魚の卵」を調理しても「玉子」にはなりません。
これは、「玉子」という字が鶏卵のみを指しているからです。

NHKでは、「たまご」の表記は「卵」で統一されているようです。
これはNHKの調査結果ですが、「たまご」の漢字を使い分けていますか？みたいな質問をしたところ、若い層の方が使い分けをしている様で、年齢が高いほど使い分けないそうです。

ただ、傾向としてみると
「玉子」が加熱後
「卵」は生の状態
としている場合が多いようですが、ゆで卵は？半熟なら卵丼？
といった凄い曖昧な状態であるのは間違いないです。

どうですか？
そりゃあ外国人もびっくりですよね？
「えっ？この文字って使い方決まってないの？そんな馬鹿な」って話ですよね。

そんな表現の単語は日本語には多いです。
「卵焼き」だろ！いや「玉子焼き」です。
の様に言い争ったところで、元々明確な正解がない訳ですから、この言い争いには決着はつきません。
自分が使ってきた言葉だけが正解と思わず、相手の意見や相手の文化を受け入れる寛容性が日本語を使う以上必要ってことですね。