地域差で見ると、
「おにぎり」は日本中で一般的に使われてるのに比べ、「おむすび」は比較的局所的な感じがあります。

具体的には、「おむすび」と直感的に答える方が多いのは、関東から東海道あたりに分布していて、「おむすび」と呼ばれる場合の多くは三角形の形をしている事が多いです。

イメージで見ると、
「握り飯」は、荒々しい男性のようなイメージがあります。
「おにぎり」は、一般的なイメージで老若男女問わず使われている印象です。
「おむすび」は、すこし上品さを感じますね。

このイメージの差は、昔どの身分の人が使っていたかに遡ります。
「握り飯」という言葉は、日本の歴史でみると一番古く、おにぎりやおむすびの語源となった言葉であると考えられます。
「おにぎり」という言葉は、庶民言葉として広く定着し、使われてきました。
「おむすび」は、貴族身分の特に女性に使われていた言葉です。

この昔の身分などの風習が、今に受け継がれ、無意識に言葉におけるイメージが出来上がったようです。

前置きした通り、諸説あります。
調理方法が元になったという説や握る際に道具を使うか使わないか、見た目や形状から来ているなど、様々な説があります。

ただ、広辞苑では、これら３つの言葉は同じ意味で記載されていますので、現代はどれを使っても問題ない。とされています。